運動しない日々を送っているため日々体がなまくらになっています。ko_ya346です。
「統計学実践ワークブック」で引っかかった部分を自分なりにメモしていきます。

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この記事では21章標本調査法（P184）の非復元抽出の分散の導出をしてみます。

ざっくりあらすじ

大きさ $N$ の母集団から大きさnの標本を非復元単純無作為抽出する。
その変量の値を $x_i (i=1, 2,...,n)$ として、標本平均

$\displaystyle \bar{x} = \frac{1}{n}\sum^n_{i=1}x_i$

を用いるとき、期待値は $\mathrm{E}[\bar{x}]=\mu$ 、分散は

$\displaystyle \mathrm{V}[\bar{x}]=\frac{N-n}{N-1} \cdot \frac{1}{n}\sigma^2$

である。ここで $\frac{N-n}{N-1}$ は有限修正項と呼ばれる。

この有限修正項の導出について、テキストでは端折られていたので自分でやってみました。

導出してみる

普通に計算していきます。

$\displaystyle \mathrm{V} [ \bar{x} ] = \mathrm{V} [ \frac{1}{n} \sum^n_{i=1} x_i ] = \frac{1}{n^2} \mathrm{V} [ \sum^n_{i=1} x_i ] \qquad (1)$

分散の和の公式は以下のように、共分散を考慮する必要があります。

$\displaystyle \mathrm{V} [ a \pm b ] = \mathrm{V} [ a ] + \mathrm{V} [ b ] \pm 2Cov(a, b)$

すると $(1)$ の最後の部分は

$\displaystyle \mathrm{V} [ \sum^n_{i=1} x_i ] = \sum^2_{i=1} \mathrm{V} [ x_i ] + \frac{n(n-1)}{2} 2Cov(x_1, x_2) = n \mathrm{V} [ x_1 ] + n(n-1)Cov(x_1, x_2) \quad (2)$

と変換できます。

唐突に出てきた $\frac{n(n-1)}{2}$ は、 $n$ 個のサンプルから2個選ぶ組み合わせの数 ${}_n C_2$ です。

...

続いて、 $Cov(x_1, x_2)$ を求めていきます。

$\displaystyle \begin{split} Cov(x_1, x_2) &= \mathrm{E} [ x_1 x_2] - \mathrm{E} [ x_1 ] \mathrm{E} [x_2] \\ &= \frac{1}{N(N-1)} \cdot \sum_{i \ne j} x_i x_j - \frac{(\sum^n_{i=1} x_i)^2}{N^2} \\ &= \frac{(\sum^n_{i=1} x_i)^2 - \sum^n_{i=1} {x_i}^2}{N(N-1)} - \frac{(\sum^n_{i=1} x_i)^2}{N^2} \\ &= \frac{N(\sum^n_{i=1} x_i)^2 - N \sum^n_{i=1} {x_i}^2 - (N-1)(\sum^n_{i=1} x_i)^2}{N^2(N-1)} \\ &= - \frac{1}{N-1}(\frac{1}{N} \sum^n_{i=1} x_i^2 - (\frac{1}{N} \sum^n_{i=1} x_i)^2 ) \\ &= - \frac{1}{N-1} ( \mathrm{E} [ x_i^2 ] - (\mathrm{E} [x_i ] )^2 ) \\ &= - \frac{1}{N-1} \mathrm{V} [ x_i] \end{split}$

2行目から3行目の

$\displaystyle \sum^n_{i \ne j} x_i x_j = (\sum^n_{i=1} x_i)^2 - \sum^n_{i=1} {x_i}^2$

について補足します。
はじめに $n=3$ のときの左辺を素直に計算してみます。

$\displaystyle \sum^3_{i \ne j} x_i x_j = 2x_1 x_2 + 2x_1 x_3 + 2x_2 x_3$

続いて右辺の

$\displaystyle (\sum^3_{i=1} x_i)^2$

を計算してみると、

$\displaystyle (\sum^3_{i=1} x_i)^2 = (x_1 + x_2 + x_3)(x_1 + x_2 + x_3) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1 x_2 + 2x_1 x_3 + 2x_2 x_3$

と、二乗の項を除けば

$\displaystyle \sum^3_{i \ne j} x_i x_j$

と一致することが分かりました。

...

さて、共分散が求まったので分散の計算の続きをします。

$\displaystyle \begin{split} \mathrm{V} [ \bar{x} ] &= \frac{1}{n^2} \mathrm{V} [ \sum^n_{i=1} x_i ] \\ &= \frac{1}{n^2} (n \mathrm{V} [ x_1 ] - n(n-1) (\frac{\mathrm{V} [ x_1 ]}{N-1}) \\ &= \frac{\sigma^2}{n} (1 - (\frac{n-1}{N-1})) \\ &= \frac{N-n}{N-1} \cdot \frac{1}{n}\sigma^2 \end{split}$