それでは毛玉諸君、これにて失敬

日々の精進を備忘録的に綴ります。

経済・ファイナンスデータの計量時系列分析 2章 ARMA過程の定常性と反転可能性

AR過程の定常性

AR過程と同一の係数をもつ差分方程式が安定的になる場合に、AR過程は定常となる。
AR(p)過程の定常条件は、

$\displaystyle 1 - \phi_1 z - \cdots - \phi_p z^p = 0$

のすべての解の絶対値が1より大きい時、AR過程は定常となる。
上記の方程式を AR特性方程式 と呼ぶ。

定常AR過程は MA(∞)過程で書き直すことができる。

$\displaystyle \begin{align} y_t &= \phi_1 y_{t-1} + \epsilon_t \\ &= \phi_1 (\phi_1 y_{t-2} + \epsilon_{t-1}) + \epsilon_t \\ &= \phi^2_1 y_{t-2} + \epsilon_t + \phi_1 \epsilon_{t-1}\\ &= \phi^2_1 (\phi_1 y_{t-3} + \epsilon_{t-2}) + \epsilon_t + \phi_1 \epsilon_{t-1}\\ &= \phi^3_1 y_{t-3} + \epsilon_t + \phi_1 \epsilon_{t-1} + \phi^2_1 \epsilon_{t-2}\\ \ldots \\ &= \phi^m_1 y_{t-m} + \sum^{m-1}_{k=0} \phi^k_1 \epsilon_{t-k} \end{align}$

となり、 $|\phi_1| \lt 1$ ならばMA過程になる。

MA過程の反転可能性

任意のMA過程に関して、同一の期待値と自己相関構造をもつ異なるMA過程が複数存在する。
例えば、

$\displaystyle y_t = \epsilon_t + \theta \epsilon_{t-1}, \quad \epsilon_t \sim \mathrm{W.N.} (\sigma^2)$

と、

$\displaystyle y_t = \tilde{\epsilon}_t + \frac{1}{\theta} \tilde{\epsilon}_{t-1}, \quad \epsilon_t \sim \mathrm{W.N.} (\theta^2 \sigma^2)$

の期待値と自己共分散は同じ値になる。
同一の期待値と自己相関構造をもつMA過程が複数存在するとき、どのMA過程を用いるべきか。その基準の1つとなるのがMA過程の反転可能性である。

MA過程がAR(∞)過程に書き直せるとき、MA過程は反転可能といわれる

MA(q)過程の反転可能条件は、AR過程の定常条件と同様のものであり、

$\displaystyle 1 + \theta_1 z + \cdots + \theta_p z^p = 0$

というMA特性方程式を用いて述べることができる。具体的にはMA特性方程式のすべての解の絶対値が1より大きい時、MA過程は反転可能となる。

ARMA過程について

AR過程、MA過程それぞれを理解していれば難しくない。

定常性を考える場合、MA過程の部分を無視できる
反転可能性はAR過程の部分を無視して考えればよい

となる。