それでは毛玉諸君、これにて失敬

日々の精進を備忘録的に綴ります。

経済・ファイナンスデータの計量時系列分析 2章

統計的推定

標本の特徴から母集団の性質を推測すること
大きく分けて「点推定」「区間推定」の2つがある

不偏推定量

標本から測定した推定量の期待値が母数と等しくなる性質を持つ推定量のこと。
母数 $\theta$ の推定量を $\hat{\theta}$ と表すと、

$\displaystyle \mathrm{E}(\hat{\theta}) = \theta$

を満たすようなもの。
標本平均、標本不偏分散

統計的推定とは～点推定と区間推定の違い～｜AVILEN

不偏推定量とは？平均と分散を例に分かりやすく解説｜AVILEN

一致推定量

標本数を $\infty$ まで増やしたときに、推定量 $\hat{\theta}$ が母数 $\theta$ に近づくという性質

一致推定量とは？平均と分散を例に分かりやすく解説｜AVILEN

最尤推定量の一致性と漸近正規性の証明 #統計学 - Qiita

https://ibis.t.u-tokyo.ac.jp/suzuki/lecture/2015/dataanalysis/L2.pdf

経済・ファイナンスデータの計量時系列分析 2章 ARMA過程の定常性と反転可能性

AR過程の定常性

AR過程と同一の係数をもつ差分方程式が安定的になる場合に、AR過程は定常となる。
AR(p)過程の定常条件は、

$\displaystyle 1 - \phi_1 z - \cdots - \phi_p z^p = 0$

のすべての解の絶対値が1より大きい時、AR過程は定常となる。
上記の方程式を AR特性方程式 と呼ぶ。

定常AR過程は MA(∞)過程で書き直すことができる。

$\displaystyle \begin{align} y_t &= \phi_1 y_{t-1} + \epsilon_t \\ &= \phi_1 (\phi_1 y_{t-2} + \epsilon_{t-1}) + \epsilon_t \\ &= \phi^2_1 y_{t-2} + \epsilon_t + \phi_1 \epsilon_{t-1}\\ &= \phi^2_1 (\phi_1 y_{t-3} + \epsilon_{t-2}) + \epsilon_t + \phi_1 \epsilon_{t-1}\\ &= \phi^3_1 y_{t-3} + \epsilon_t + \phi_1 \epsilon_{t-1} + \phi^2_1 \epsilon_{t-2}\\ \ldots \\ &= \phi^m_1 y_{t-m} + \sum^{m-1}_{k=0} \phi^k_1 \epsilon_{t-k} \end{align}$

となり、 $|\phi_1| \lt 1$ ならばMA過程になる。

MA過程の反転可能性

任意のMA過程に関して、同一の期待値と自己相関構造をもつ異なるMA過程が複数存在する。
例えば、

$\displaystyle y_t = \epsilon_t + \theta \epsilon_{t-1}, \quad \epsilon_t \sim \mathrm{W.N.} (\sigma^2)$

と、

$\displaystyle y_t = \tilde{\epsilon}_t + \frac{1}{\theta} \tilde{\epsilon}_{t-1}, \quad \epsilon_t \sim \mathrm{W.N.} (\theta^2 \sigma^2)$

の期待値と自己共分散は同じ値になる。
同一の期待値と自己相関構造をもつMA過程が複数存在するとき、どのMA過程を用いるべきか。その基準の1つとなるのがMA過程の反転可能性である。

MA過程がAR(∞)過程に書き直せるとき、MA過程は反転可能といわれる

MA(q)過程の反転可能条件は、AR過程の定常条件と同様のものであり、

$\displaystyle 1 + \theta_1 z + \cdots + \theta_p z^p = 0$

というMA特性方程式を用いて述べることができる。具体的にはMA特性方程式のすべての解の絶対値が1より大きい時、MA過程は反転可能となる。

ARMA過程について

AR過程、MA過程それぞれを理解していれば難しくない。

定常性を考える場合、MA過程の部分を無視できる
反転可能性はAR過程の部分を無視して考えればよい

となる。

経済・ファイナンスデータの計量時系列分析 2章 AR過程

自己回帰（AR）過程... autoregressive process
過程が自身の過去に回帰された形で表現される過程

$y_t = c + \phi_1 y_{t-1} + \epsilon_t$

AR(1)過程の場合、 $|\phi_1| \lt 1$ のときに過程は定常となる。

AR(p)過程

$1 - \phi_1 z - \cdots - \phi_p z^p = 0$

という方程式が共役な複素数 $a \pm bi$ を解にもつとき、AR(p)過程の自己相関は、周期が $2 \pi \cos^{-1}(a / \sqrt{a^2 + b^2})$ に等しい循環成分をもつことができる。