問題

地球上の2地点それぞれの緯度と経度が与えられます。その地点間の距離を計算してください。
* ただし地球は球体と仮定し、半径は6378kmとします。

用語

緯度
- 基準は赤道。北極点を北緯90度、南極点を南緯90度とする
経度
- イギリスのグリニッジ天文台跡を通る子午線が基準。東西へ180度まで表す
大円
- 球の中心を通るように球を切った時の切り口
大円距離
- 球面上の距離計測対象の2地点を結ぶ大円の弧の長さ

解法

円弧の長さ $L$ は、半径 $r$ と中心角 $\theta \quad (0 \le \theta \le 2\pi)$ を用いて、

$\displaystyle L = r \theta$

で求められる。
また、2地点の緯度経度をそれぞれ $(\phi_1, \lambda_1), (\phi_2, \lambda_2)$ とするときの中心角は、球面三角法の余弦定理より

$\displaystyle \theta = \arccos(\sin \phi_1 \sin \phi_2 + \cos \phi_1 \cos \phi_2 \cos(\lambda_1 - \lambda_2))$

で求められる。よって、2地点間の距離 $L$ は、

$\displaystyle L = 6378 \arccos(\sin \phi_1 \sin \phi_2 + \cos \phi_1 \cos \phi_2 \cos(\lambda_1 - \lambda_2))$

となる。

補足

球面三角法の余弦定理の導出

図1の球面三角形は角 $A, B, C$ と辺 $a, b, c$ からできている（この球の半径は1とする）。

図2は、頂点 $A$ で球面に接する平面を考え、この平面と

直線 $OB$ との交点を $B'$
直線 $OC$ との交点を $C'$

とする。
このとき、平面三角形 $AB'C'$ の $\angle A$ の大きさは球面三角形 $ABC$ の $\angle A$ の大きさと等しい。

https://orsj.org/wp-content/corsj/or60-12/or60_12_701.pdf から引用

平面三角形 $AB'C'$ と $OB'C'$ は辺 $B'C'$ を共有しているので、平面三角形の余弦定理から、

$\displaystyle \overline{B'C'}^2 = \overline{AB'}^2 + \overline{AC'}^2 - 2 \overline{AB'} \cdot \overline{AC'} \cos A \\ \quad \quad \quad = \overline{OB'}^2 + \overline{OC'}^2 - 2 \overline{OB'} \cdot \overline{OC'} \cos a$

が成り立つ。
$\triangle OAB'$ と $\triangle OAC'$ は直角三角形なので $\overline{AB'} = \tan c, \quad \overline{AC'} = \tan b, \quad \overline{OB'} = \frac{1}{\cos c}, \quad \overline{OC'} = \frac{1}{\cos b}$ が成り立つ。これらを先ほどの式に導入し整理すれば導くことが出来る（途中 $\tan ^ 2 \theta = \frac{1}{\cos ^2 \theta}$ を利用する）。

球面三角法の余弦定理と緯度経度との対応

地球を模した半径 $r$ の球面上に、北極 $N$ と地点 $P$ （緯度 $\phi_1$ 、経度 $\lambda_1$ ）と地点 $Q$ （緯度 $\phi_2$ 、経度 $\lambda_2$ ）を頂点とする球面三角形 $NPQ$ を考える（図3）。
辺 $PQ$ の角度を $\theta$ として余弦定理を適用すると、辺 $NP$ の角度は $\pi / 2 - \phi_1$ 、辺 $NQ$ の角度は $\pi / 2 - \phi_2$ 、 $\angle A$ は $\lambda_1 - \lambda_2$ となるので、これらを先ほど導出した式に代入することで中心角を導出できる。